Последнее обновление: 7 Января 2022 г.

Ахилл и черепаха: кто быстрее?...

Поговорим о притче, которая, на первый взгляд, кажется непротиворечивой и очевидной. Речь идет о притче об Ахилле. Это был знаменитый, прославленный бегун времен Древней Греции. Так вот, рассуждали философы: поставим вперед Ахилла черепаху. Ну, метров на 10 впереди. Черепаху, которая славится не скоростью бега, а, напротив, своею медлительностью. Ну, и дадим им обоим сигнал - бежать вперед. А дальше - кто кого... и посмотрим.

Понятно, что Ахилл преодолеет эти 10 метров очень быстро, наверное, за 1 секунду. Быстрее-то уж едва ли, он все же - не автомобиль, не самолет. Итак, пробежал Ахилл 1 секунду. За это время черепаха проползет какое-то расстояние. Понятно, что куда там ей равняться с Ахиллом. Но, допустим, хоть сантимеров 10 они за эту самую секунду проползти сможет. Т.е. пока несчастный Ахилл бежит эти 10 метров, черепаха-то уползает вперед.

Ну, хорошо. Ахилл, собравшись с духом, продолжит свой бег и пробежит эти 10 см за еще меньшее время, всего за 0,01 секунды. Казалось бы - ерунда?... Но, черепаха тоже на промах: за эти 0,01 секунды она проползет еще какое-то расстояние, хотя и совсем малость - всего-то 0,1 см или 1 миллиметр. И опять незадачливый Ахилл оказался в промахе: черепаха от него вновь уползла. Ну, и так далее. Каждый раз, как только Ахилл нагонит черепаху, та от него будет вновь и вновь уползать... и так, мол, до бесконечности. В итоге - парадокс: лучший бегун древней Греции (а, быть может, и мира) не может догнать... медлительную черепаху. И даже если, мол, расстояние между Ахиллом и черепахой будет сокращаться, все равно каждый раз она сумеет уползти вперед. пусть и на ничтожно малое расстояние. Вроде бы, как и в обсуждавшейся выше экономической ситуации - типа, не придерешься?...

1. Целый день, спозаранку,
2. Слышен топот бахил;
3. Все никак черепаху
4. Не догонит Ахилл.

Так догонит ли Ахилл черепаху?

Вроде бы, вопрос - глупый. Понятно, мол, что догонит. Если судить по практике. Давайте, мол, попробуем взять даже не Ахилла, а обычного пешехода, идущего не торопясь. В итоге, он вскоре нагонит и перегонит черепаху. Но, как это обосновать в рассуждениях? Ведь философ не успокоится до тех пор, пока не получит ЛОГИЧЕСКОЕ опровержение своих доводов. Практика-то, мол, это одно, а вот вы обоснуйте эту свою практику...

Обосновать можно двумя путями, как минимум - если говорить именно о логических доводах. Проблема здесь заключается всего-навсего в том, что рассуждения являются лишь умозрительными, очень грубыми и поверхностными. Заведомо не учитывающими ряд важных моментов. В частности: почему же мы даем Ахиллу лишь такое время, за которое он сможет пробежать лишь до места, где находилась черепаха? Ведь так мы его принудительно ставим в жесткие рамки, не давая ему бежать как следует. Поэтому и немудрено, что он не смог догнать черепаху.

А что, если дать ему времени ПОБОЛЬШЕ? Давайте дадим ему времени не 1 секунду, а 2 секунды - и посмотрим, что получится. А получится примерно следующее. За 2 секунды Ахилл пробежит 20 метров. А черепаха проползет 20 см. Т.е. понятно, кто кого обгонит и вопрос, казалось бы, решен. Но, философ может запротестовать: это Вы, мол, "неверно" рассуждаете, переходите в совсем иную плоскость доводов. И, якобы, "нарушаете" условия эксперимента. А вот попробуйте-ка доказать именно в рамках той схемы, которая обговаривалась ранее. Т.е. Ахилл бежит до места, где находилась черепаха, она за это время уползает вперед, он ее снова нагоняет и т.д. Вот, мол, попробуйте-ка именно здесь доказать, что Ахилл таки догонит ее.

Понятно, что такое (нечестное, кстати) ограничение условий эксперимента вызвано лишь желанием - выгородить черепаху и создать сложности для Ахилла. Ибо вместо того, чтобы просто бежать (и побеждать в беге), он вынужден прислушиваться и выполнять именно те требования бега, которые для него установил философ: каждый раз бежать только до того места, на котором находилась черепаха. Т.е. понятно, что философ - просто-напросто хитрит, хотя и пока не признается в этом. Впрочем, вполне возможно, то он - честно заблуждается и искренне не понимает глубокого изъяна в своих рассуждениях. Можно ли его вывести на чистую воду?...

Легко!

Допустим, и в самом деле Ахилл будет бежать именно по тем (кабальным) правилам, которые для него установил философ. Однако, нельзя отрицать, что и Ахилл, и черепаха имеют некоторые скорости передвижения. Понятно, что у каждого они - свои, но они - есть. Ахилл бежит со скоростью 10 метров в секунду, а черепаха - 10 сантиметров в секунду. Ну, примерно. Так вот. Пока Ахилл пробежит 10 метров, черепаха проползет 10 см. Пока Ахилл пробежит 10 см, черепаха проползет еще 1 мм. Ну, и т.д. И возникает вопрос: догонит ли он черепаху? Т.е. существует ли точка пространства (впереди), в которой они встретятся?

Для наглядности, отобразим данные об указанном соревновании в виде таблицы. Чтобы было сопоставимо, пробег и Ахилла, и черепахи будем измерять в одинаковых единицах - в метрах. И вот что получается:

Время, секунды	Ахилл пробежал, метры	Черепаха проползла, метры
1	10	0,1
0,01	0,1	0,001
0,0001	0,001	0,00001
…	…	…

Как видим, время пробега Ахилла до каждого очередного места сокращается - каждый раз в 100 раз. А это означает, что общее время будет определяться бесконечным математическим рядом следующего вида:

Т = 1 + 0,01+ 0,0001+ ...

Это - так называемая геометрическая прогрессия. Начальный член которой равен 1, а знаменатель - 0,01. Так как Ахилл будет бороться за победу до последнего, будем считать, что число членов такой прогрессии - бесконечно. Т.е. будет существовать бесконечное количество интервалов времени, в течение которых Ахилл будет все ближе и ближе к черепахе. Причем, расстояние между этими бегунами будет все более и более сокращаться. В таком случае сумма геометрической прогрессии вычисляется по следующей формуле:

Т = 1*(1-0,01∞)/(1-0,01) = 1/(1-0,01) = 1,010101...

Таким образом, суммарное время, которое потребуется Ахиллу для того, чтобы окончательно встретиться с черепахой, составит всего-навсего секунду с небольшим. Несмотря на бесконечное количество интервалов! И если он продолжит свой бег, то, несомненно, опередит черепаху. И это случится уже через время большее, чем 1,0101.... . Например, через 1,1 секунды после начала соревнования. Кстати, точно также можно вычислить и расстояния, которые пробежит ахилл и проползет черепаха. Ахилл пробежит

SA=10+0,1+0,0001+ ... = 10*(1-0,01∞)/(1-0,01) = 10/(1-0,01) = 10,010101...

А черепаха проползет

SЧ= 0,1+0,001+0,0001+... = 0,1*(1-0,01∞)/(1-0,01) = 0,1/(1-0,01) = 0,101010...

Т.е. разница расстояний составит SA-SЧ= 10,010101... - 0,010101... = 10 метров. Это - то самое начальное расстояние, которое было между Ахиллом и черепахой до начала соревнования. Т.е. очевидно, что никакого парадокса нет. Через время, чуть большее 1 секунды, исход соревнования будет ясен.

Так в чем же дело?

Почему же философ поставил общественности сей "парадокс"? От нечего делать? Или оттого, что не имел понятия о том, как суммировать бесконечные математические ряды? Или... рассчитывал на то, что, мол, никто не станет разбираться в истинных причинах создавшегося "парадокса" и в итоге - поверят ему на слово?

Об ответе именно на эти вопросы история умалчивает. Однако, остается очевидным факт того, что никакого парадокса здесь нет и не было. "Парадоксальной" данная ситуация кажется лишь на первый взгляд, так как философ ее принудительно изложил так, чтобы она выглядела парадоксальной. Т.е. - запутал ситуацию. При этом, еще раз, видимо, не имея понятия о том, что, оказывается, все эти очень малые перемещения Ахилла, по мере того, как он будет догонять черепаху, вполне можно просуммировать. И при этом общее время пробега, равно как и расстояние, которое пробежит Ахилл, будут вполне конечными величинами, а не бесконечными. Несмотря на, повторимся, бесконечное количество перебежек Ахилла от очередного местонахождения черепахи к ее новому местонахождению. Возможно, философ и в самом деле не вник в этот нюанс и подумал, что, мол, наверное просуммировать все эти малые расстояния - "невозможно". Их же, мол, бесконечно много. Но, увы, Философ оказался неправ. В самом деле, бывают м такие бесконечные ряды, просуммировать которые не получится. Например, так называемый гармонический ряд:
1+1/2+1/3+1/4+1/5+...
Желающие могут попробовать его просуммировать, например, на калькуляторе или где-нибудь в Excel. Однако, отметим сразу, что лучше не пытаться это делать. Ибо, несмотря на, вроде бы, "малость" членов ряда, в итоге, со временем, его сумма будет все более и более увеличиваться. И определить ее не удастся даже приближенно.

На всякий случай, если кто не верит: дело в том, что этот факт (про то, что сумма гармонического ряда равна бесконечности) строго доказан в математике.

В чем суть сей басни?

Т.е понятно, что философ, видимо, не имея понятия об элементарной математике, составил ТАК условия ситуации, чтобы она казалась парадоксальной. Но, в данном случае путем небольшого анализа становистя ясно, что никакого парадокса здесь нет. Парадокс лишь в том, ЗАЧЕМ философ создал это, ЗАЧЕМ он об этом рассказал. Но, дело-то в том, что таких парадоксов - просто масса. И далеко не все они касаются столь простых вещей. Нередко ситуации, кажущиеся парадоксальными, излагаются ТАК, что и в самом деле становится непонятным, что к чему. Один короновирус, например, чего стоит... И если насчет Ахилла с черепахой все ясно и понятно, то с рядом других "парадоксов" - как-то не очень. Почему? А потому, что нет достаточного количества надежной, достоверной информации и/или нет надлежащих методик исследования и анализа. В том числе, и потому, что подобная информация - скрывается, вуалируется и искажается.

Если привести в пример короновирус - то почему, скажем, в России толком не ведется никакой статистики о побочных явлениях, о смертях, которые хотя бы предположительно связаны с уколами так называемыми "вакцинами"? В ряде других стран такая статистика более-менее есть, а вот в России - увы. А когда недостаток (в России он - от слова абсолютный) информации, то понятно, что получается очень широкое поле для каких бы то ни было кривотолков и подозрений. Ну, представьте себе, если бы тот самый философ, разработчик "парадокса" об Ахилле с черепахой, запретил быть пользоваться формулой для нахождения суммы геометрической прогрессии? А если, мол, будете пользоваться - то признаем вас экстремистами или вовсе на костре сожжем, как это делалось в средние века, к примеру.

Или взять производство товаров в пределах национальной экономики. Тоже есть "парадокс": вроде бы, в самом деле, суммарная зарплата всех работников государства получается НИЖЕ, чем общий объем стоимости товаров, работ, услуг, ими же произведенный. По той причине, что зарплата - это лишь небольшая часть того, что входит в стоимость товаров. Т.е. работник, якобы, производит заведомо больше стоимости, чем ему платят за работу в виде зарплаты. Вроде бы, и в самом деле - "парадокс". Да, если не обращать внимания на ряд других вещей, происходящих в экономике. Если умышленно закрыть на это глаза, абстрагироваться от них.

Или пример из психологии. Когда вначале некто заявляет, что, мол, человек - это "только биология". А все, что в человеке есть, основано, якобы, на биологии. Т.е. делается принудительный, умышленный отказ от рассмотрения всех остальных сфер человеческой деятельности, жизни, бытия. А после этого делается "логичный" вывод: в самом деле, мол, "все объясняется исключительно биологией, химией". Глупость ведь? Разумеется! Но немало тех, кто в эту глупость верит. И, что самое печальное - еще и государственную политику на этом основывает. А это означает, что такая политика будет учитывать человека - да, только как часть "биологии", т.е. кусок мяса с костями. И ВСЕ проявления человеческого будут принудительно сводиться именно к биологическим проявлениям, как бы это странно не было. То же самое и с пресловутым короновирусом, экономическими явлениями и т.д. Одно дело, когда весь "парадокс" существует только в (неверных) рассуждениях философа и пригоден, разве что, для обсуждений на досуге, чисто как логическая разминка, чтобы установить его неправильность и забыть о нем. И совсем другое - когда на подобных рассуждениях строится государство и основывается государственная политика. Вот тогда и возникают такие нюансы, как фашизм (коронобесие - как его частный случай), апартеид, диктатуры самого разного толка, войны и прочие очень нехорошие общественные явления.